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第562章 曲率度规张量和偏微分方程（第2页）

塔维尔继续无情地推进：“对于我们的球对称质量分布，假设物质能量-动量张量为理想流体形式：T_μν^(m）=(ρ+pc2）u_μu_ν+pg_μν，其中ρ是质量密度，p是压力，u_μ是四维速度。

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在物体静止的参考系中，u_μ=(-c，0，0，0）。于是T_00^(m）=ρc2，T_ij^(m）=pδ_ij，其他分量为零。”

她调出第四个屏幕：“现在我们考虑屏蔽解除过程。令S(r，t）=1-f(t）·g(r），其中g(r）是空间衰减函数，描述幽能场的空间分布。

那么完整的T_μν为：T_00=ρc2S(r，t），T_ij=pS(r，t）δ_ij。”

“将这一形式代入线性化场方程，”

塔维尔的手指飞舞，公式如瀑布般流下，“得到关于h_μν的波动方程。

对于横向无迹部分，即引力波部分，我们有：□?h_ij^TT=-(16πGc?）Σ_ij^TT，其中Σ_ij是应力的横向无迹投影。”

她调出第五个屏幕，上面出现积分符号：“在远场近似下，解为推迟势：h_ij^TT(t，x）=(4Gc?）∫d3xΣ_ij^TT(t-|x-x|c，x）|x-x|。”

“现在关键来了，”

塔维尔眼睛发亮，“对于突然出现的质量，Σ_ij的时间行为由S(r，t）的时间导数决定。

具体地，Σ_ij∝ρv_iv_j+pδ_ij，其中v_i是速度场。

在物体整体静止但引力效应‘出现’的情况下，主要贡献来自压力项的时间变化。”

她调出第六个屏幕：“压力p与密度ρ通过状态方程相关。

对于典型物质，p=Kρ^Γ，其中K是常数，Γ是绝热指数。当屏蔽解除时，ρ的有效值从近零跃变到实际值，导致p也发生跃变。”

“计算Σ_ij^TT的时间导数，”

塔维尔的声音里带着一种残忍的快意。

“我们需要考虑二阶时间导数：?2?t2[pS(r，t）]。由于S(r，t）包含exp(-t22τ2），其二阶导数在t=0处取极值：?2S?t2|_{t=0}=-1τ2。”

洛德已经开始揉太阳穴了。

塔维尔调出第七个屏幕：“代入具体数值。假设弹体质量M=10^20kg，约小型小行星，特征半径R=100km，屏蔽解除时间τ=10^-12s。

平均密度ρ?=3M(4πR3）≈7。16×10^12kgm3，这已经是中子星密度量级了——

别问我为什么这么密，这是为了武器效果优化的特殊构造。”

她继续输出公式：“对于简并物质，压力p≈(?2(5m_e））(3π2）^{23}ρ^{53}，其中m_e是电子质量。

代入ρ?得p?≈10^28Pa。那么?2p?t2在峰值时刻约为p?τ2≈10^52Pas2。”

“现在计算引力波应变的峰值。”

塔维尔调出第八个屏幕，“在距离r处，h_peak≈(Gc?）·(1r）·|?2Q?t2|，其中Q是质量四极矩。对于球体，Q～MR2。

但更精确地，对于压力驱动的引力波，有效源项是应力的体积积分：|?2Q?t2|～V·|?2p?t2|·R2，其中V是体积。”

她快速计算：“V=4πR33≈4。19×10^15m3。

于是|?2Q?t2|～4。19×10^15×10^52×(10^5）^2≈4。19×10^77kg·m2s2。”

“在r=1000km处，”

塔维尔调出第九个屏幕，上面出现最终计算结果，“h_peak≈(6。67×10^-11）(9×10^16）×(110^6）×4。19×10^77≈3。1×10^44×4。19×10^77≈1。3×10^122。”

她停顿了一下，看着已经彻底呆滞的洛德：“这个数值显然没有物理意义，因为它超过了普朗克应变h_Planck～1。

这说明我们的线性近似在τ这么短的时间尺度下完全失效，必须考虑完整的非线性爱因斯坦场方程。”

塔维尔调出第十个屏幕，上面开始出现张量分析的复杂符号：“在非线性情况下，度规扰动h_μν不再是小量。

我们需要直接数值求解完整的爱因斯坦方程：R_μν-(12）Rg_μν=(8πGc?）T_μν。

在球对称情况下，使用各向同性坐标，度规一般形式为：ds2=-A(r，t）c2dt2+B(r，t）(dr2+r2dΩ2）。”

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“场方程分解为两个独立方程：”

她继续无情地输出，“(1）??r(r2?B?r）=8πGc?·r2B2T_00，(2）??t(?B?r）=8πGc?·rBT_01。

对于我们的T_μν形式，这些方程需要数值求解。”

她调出第十一个屏幕，上面出现网格和差分公式：“使用有限差分法，将时空离散化为网格。时间步长Δt必须满足CFL条件：Δt≤min(Δrc）。