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第321章（第3页）

弱紧致基数：(位于马洛基数后）

k是弱紧致基数是指不可数且满足k→(k）。

所谓k是弱紧致基数，是指在不可数且Lk，k-句的集合中至多只使用了k个非逻辑符号的情况下，如果k-能够满足则能够满足。(弱紧致性）记载了两个弱紧致基数的定义。

前者是组合论的性质，后者是模型理论的性质。

先需要确认这个定义是相同值，还是真的定义了相同的基数，但是以后再进行，这个弱紧致基数具有什么性质，是组合论和模型理论这两个理论。

也是大基数的一种，特殊的强不可达基数，一个基数k被称为弱紧的，如果k是强不可达的并且满足树性质或划分性质，从定义可见，弱紧性弱于可测性但强于不可达性，弱紧致基数是大基数理论中的一个核心概念，若语言Lkk中任何只用到≤k个非逻辑符号的语句集a有模型，当且仅当a的每个基数k的子语句集有模型，则称基数k是弱紧基数，弱紧基数是由匈牙学者爱尔特希和波兰学者塔尔斯基于1961年开始进行研究的，弱紧基数的等价性质很多，例如以无穷组合论中的一些性质来刻画，对于k，k是弱紧基数与以下各条等价：

1。k具有分划性k→(k）22。

2。对任何基数γk及n，k具有分划性质k→(k）nγ。

3。k是强不可达基数且有数性质，k是弱紧基数还与下列这些性质等价。

4。k是滤性质。

5。k有弱滤性质且k是强不可达基数。

6。k有Vk可扩张性质。

7。k有序性质。

8。k是π11不可描述基数。

汉弗(hanf，。p。）于。）于1977年的工作结合起来，得到如下结论：

弱紧致基数k是强马赫罗基数，并且k以下的强马赫罗基数的集合是k的驻子集。通常的一阶逻辑语言是L，其紧致性定理是：

L的任一语句集a有模型，当且仅当a的每个有穷子集有模型，亦即，语言L是(，）紧的，上述弱紧基数的定义与此略有不同，如果完全依照的这一紧致性而加以推广，则可定义另一种弱紧基数，人们称之为弱紧2基数，基数k称为弱紧2基数，是指语言Lkk是(k，k）紧的，即对于Lkk的任何基数≤k的语句集a，a有模型，当且仅当a的每个基数k的子语句集有模型，若将先前定义的弱紧基数称为弱紧1基数，则可以证明：

k是弱紧1基数，当且仅当k是弱紧2基数，且是强不可达基数，在广义连续统假设之下，弱紧1与弱紧2基数是相同的，弱紧2基数必为弱马赫罗基数

可测基数：(在拉姆齐基数后）

为了定义这个概念，人们在基数k上或更一般地在任何集合上引入了一个二值度量。对于基数k，它可以描述为将其所有子集细分为大集和小集，使得k本身很大，?并且所有单例{a}，a∈k很小，小集的补集很大，并且反之亦然。小于的交集k大集又大了。

事实证明，具有二值测度的不可数基数是无法从ZFc证明其存在的大基数。形式上，可测基数是不可数基数k，使得在k的幂集上存在k加性、非平凡、o-1值测度。

（这里术语k-additive意味着，对于任何序列aa，a＜λ的基数λ＜k，aa是成对相交的小于k的序数集，aa的并集的度量等于个人aa的措施。）将满足集合a上的下一个的滤波器f称为滤波器，对于所有的xa，x∈F或ax∈F上存在-完备非一元滤波器，当k为不可数基数，k上存在k-完备非一元滤波器时，k称为可数基数

定理(ZFc）

可测基数为不可达基数，可预测基数公理(meas）:“存在可预测基数。”

可测基数与初等嵌入，当k是可测基数时，根据k上k-完备非一元滤波器对v的幂，构造了一类可拓m和一类函数j:V→m，并给出了《φ(x1，。。。，xn）：L∈-理论式》

?x1，。。。，xn∈V(φV(x1，。。。，xn）?φm(j(x1），。。。，j(xn）））

对于所有a＜k，j(a）=a且j(k）＞k将j称为从v到m的初等嵌入，k是j的临界点

使用这个初等嵌入，可以显示出可预测基数k的很多性质在这种初等嵌入的存在下，k的可测性具有特征。

也是，可测基数是一个不可数的k，因此在k的幂集上存在加性、非平凡、o-1值测度，而k-additive意味着，对于任何序列aa，a＜λ的基数λ＜k，aa是＜k的序数的成对不相交集，aa的并集的度量等于个体aa的测量值。

k是可测的意味着它是将宇宙V的非平凡基本嵌入到传递类m的临界，并使用了模型理论中的强构造，由于V是一个适当的类别，因此需要解决一个在考虑能力时通常不存在的技术问题，当且仅当k是具有k完全非主滤器的不可数基数时，k是可测量的基数，这也意味着滤器中任何严格小于k的集合的交集也在滤器中。

强可展开基数：(位于不可描述基数后）

基数k是λ不可展开的，当且仅当对于ZFc的基数k的每个传递模型m负幂集使得k在m中并且m包含其所有长度小于k的序列，有非-将m的非平凡基本元素j嵌入到传递模型中，其中j的临界点为k，且j(k）≥λ，一个基数是可展开的当且仅当它对于所有的序数λ都是λ-不可折叠的，一个基数k是强λ不可折叠的当且仅当对于每个ZFc负幂集的基数k的传递模型m使得k在m中并且m包含其所有长度小于k的序列，存在一个非-将m的平凡基本嵌入j到传递模型“n”

中，其中j的临界点为k，j(k）≥λ，并且V(λ）是n的子集，不失一般性，我们也可以要求n包含其所有长度为λ的序列，一个基数是强可展开的当且仅当它对于所有λ都是强λ-不可展开的。

强基数：如果λ是任何序数，k是λ-strong意味着k是基数并且存在从宇宙V到具有临界点k和Vλ?m也就是说，m在初始段上与V一致。那么k是强的意味着它对所有序数λ都是λ-强的。